随机事件运算 随机事件及其运算

概率论：研究随机现象的规律性的一个数学分支 ，是一门数学课程。以概率为基础最早发展起来的 学科有概率论、数理统计、随机过程等。 什么是随机现象？ 必然现象：在一定的条件下必然发生的现象。如：在标准大气压下，水加热到100℃必然会沸腾. 这种现象反映了条件与结果的确定性联系。高数、线代都是描述必然现象的数学工具。但还有另外一类不同的现象:例1. 抛掷一枚硬币。结果可能为：正面向上或反面向上。在抛掷前无法确定那一个结果出现，结果是偶然的。相 同的条件下，多次抛掷，两种结果都可能出现。例2. 袋中有２个白球和２个红球，从中任取一球。 结果可能为：白球或红球。 取球之前无法确定取到的是什么颜色的球，结果是偶 然的，多次重复取球，两种结果均可能出现。例3. 电话交换台单位时间内接到呼叫次数可能为：０ 、1、2、3、….以上这类偶然现象叫做随机现象。随机现象：在一定的条件下，可能出现的结果不只一个，一 个结果可能出现，也可能不出现，但预先不能 断定会出现哪种结果的现象。它反映了条件与结果的非确定性联系。随机现象是不是没有规律可言?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.随机现象的统计规律性:如: 掷筛子时, 出现点数 6 的次数占总次数的比几乎是一定的, 接近1/6, 且次数越多, 比值越接近1/6．再如: 大量重复抛硬币. 人们发现每一面出现的次数占总次数的比接近1/2, 随着次数的增加, 越接近1/2．这表明, 大量重复试验中, 随机现象中的各个结果出现的次数占总次数的比接近一个常数, 呈现出一定的规律性, 这是事物本身固有的属性．概率论正是研究随机现象的统计规律性的一门学科, 已被广泛应用于自然科学和社会科学中. 下面学习第一节：随机事件及其运算研究随机现象，首先要对研究对象进行 观测试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语. 包括各种各样的科学试验,甚至对某一事 物的某一特征的观察也认为是一种试验,是指 的随机试验.§1.1 随机事件及其运算第一章 随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验: 的情况.和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2出现: 观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7出现的次数.在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.上述试验具有下列共同的特点:(1) 试验可以在相同的条件下重复进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验，随机试验， 简称试验试验.用用 表示随机试验表示随机试验. .试验是在一定条件下进行的寿命试验测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.: 的情况.和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2出现: 观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7出现的次数.试验有一个需要观察的目的我们注意到根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果.试验的全部可能结果,是在试验前就明确的; 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可知道它不超过某个范围。 试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的样本点e. S现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .二、样本空间二、样本空间或Ω.例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、 反面T出现的情况: S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .则样本空间若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的.如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， S = {t ：t ≥0｝样本空间故: 观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE2出现的次数.请注意： 实际中,在进行随机试验时,我们往往 会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定 灯泡的寿命 (小时) 小于500为次品, 那么我们关心 灯泡的寿命 是否满足 . 或者说, 我们关心 满足这一条件的样本点组成的一个集合 . 这就是试验 的样本空间 的子集称为 的随机事件.三、随机事件三、随机事件简称事件，常用字母A，B，C等表示。如在掷筛子试验中，观察掷出的点数 .事件 B={掷出奇数点}事件 A={掷出1点}事件 C{出现的点数大于4}=事件基本事件复合事件（相对于观察目的 不可再分解的事件 ）（两个或两个以上基本事件并在 一起，就构成一个复合事件）事件 B={掷出奇数点}如在掷筛子试验中， 观察掷出的点数 .事件 Ai ={掷出i点}i =1,2,3,4,5,6当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷筛子试验中，观察掷出的点数 .事件 B={掷出奇数点}B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.两个特殊的事件：必件然事例如，在掷筛子试验中，“掷出点数小于7”是必然 事件;即在试验中必定发生的事件，常用S表示; 不件可事能而“掷出点数8”则是不可能事件.即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 .四、 事件间的关系与运算事件间的关系与运算同集合的关系与运算一致。若A出现, 则B必出现, 则称B包含A规定显然(1) . 包含 ( ) (或 )：(2) 相等: A=B:, 且(3) 和(并)：A、B 两者至少有一个发生(4) 积(交) ：A、B 两者同时发生(5) 互斥: A与B互斥(互不相容):AB=Φ，A、B不能同时发生。一般地，对于 n 个事件 A1 、A2 , …, An ，若它们之 间两两互斥，则称这 n 个 事件是互斥的.通常 A1 ∪ A2 ∪, …, ∪ An 记为 A1 +A2 + , … , + An 或(6)对立(互逆)事件: A+B=Ω，且AB=φA, B 有且仅有一个发生。B是A的逆事件, 记为=“A 不发生”，于是有：注：互逆的事件必定互斥， 但互斥的事件却未必互逆!(7) 差：A 发生而 B 不发生以上是一些事件间的关系与运算，其实 质就是集合间的关系与运算，其运算规律就 是集合间的运算规律。事件运算的规律：A、B、C(1)交换律： A∪B=B∪A, AB=BA (2)结合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C), ( (ABAB) )C=A(BCC=A(BC) ) (3)(3)分配律分配律: : (A∪B)C=AC∪BC, (AB)(AB)∪C=(AC=(A∪C)(B(B∪C)C) (4)(4)对偶律：对偶律： 推广:证明：直接法、集合法、图解法。（略）事件运算还满足下列关系式：例1：设A、B、C任意三个随机事件，用 A、B、C及其运算符号表示下列事件：( (1) A发生而B与C都不发生；(2) A发生且B与C至少有一个发生;(3) A与B发生而C不发生；(4) A、B、C只有一个发生；(5) A、B、C至少有两个发生；(6) A、B、C至多有一个发生。研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件， 更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率。什么是事件的概率？如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题.我们简要介绍了随机试验随机事件样本空间给出了事件的集合表示